Cassini ovaal

'n Paar Cassini ovale. Die brandpunte is (-1, 0) en (1, 0). Die krommes is gemerk met die waarde van b².

In wiskunde is 'n Cassini ovaal 'n versameling (of lokus) van punte in die vlak sodat elke punt p op die ovaal 'n spesiale verhouding het met twee ander vaste punte q₁ en q₂: die produk van die afstand van p na q₁ en die afstand van p na q₂ is konstant. Dit wil së as die funksie dist(a,b) gedefinieer word om die afstand van 'n punt a na 'n punt b te wees, dan bevredig al die punteop 'n Cassini ovaal die vergelyking

$\text{dist}(q_1,p)\text{dist}(q_2,p)=b^2$

waar b 'n konstante is.

Die punte q₁ en q₂ word die brandpunte van die ovaal genoem.

Cassini ovale is vernoem na die sterrekundige Giovanni Domenico Cassini.

Vergelykings en vorm

Veronderstel q₁ is die punt (a,0), en q₂ is die punt (-a,0). Dan bevredig die punte op die kromme die vergelyking

$((x-a{)}^2+y^2)((x+a{)}^2+y^2)=b^4$

Ekwivalente vergelykings sluit in

$(x^2+y^2{)}^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4$

en

$(x^2+y^2+a^2{)}^2-4a^2{x}^2=b^4$

Die ekwivalente Poolvergelyking is

$r^4-2a^2{r}^2\cos 2\theta =b^4-a^4$

Die vorm van die ovaal hang af van die verhouding b/a. As b/a groter is as 1 is die lokus 'n enkele verbinde lus. As b/a kleiner is as 1 bestaan die lokus uit twee onverbinde lusse. As b/a gelyk is aan 1 is die lokus 'n lemniskaat.

As a = b is dir kromme rasioneel, maar in die algemeen het die kromme 'n paar dubbele punte by oneindigheid in die kompleks afgebeelde vlak, by x = ±i, y = 1, z = 0 en geen ander singulariteite nie, en is dit 'n algebraïese vlakkromme van genus een, en daarom birasionaal ekwivalent aan 'n elliptiese kromme.

As geherskalleer word deur x met ax te vervan en y met ay word 'n een-parameter familie verkry

$(x^2+y^2+1{)}^2-4x^2=b^4$

wat j-invariant het

$j=16\frac{(b^8-16b^4+16{)}^3}{b^{16}(1-b^4)}.$

Let daarop dat die definisie van die kromme analoog is aan die van die ellips, waarin die som

$\text{dist}(q_1,p)+\text{dist}(q_2,p)$

eerder as die produk konstant is.

Eksterne skakels

• MacTutor beskrywing
• Sjabloon:MathWorld
• 2Dcurves.com beskrywing