Wys bron van Keël

[[Lêer:Kegel.jpg|duimnael|regs|'n Keël met radius ''r'', hoogte ''h'' en lengte van skuinssy ''l''.]]

'n '''Keël''' is 'n driedimensionele geometriese vorm wat deur twee [[parameter]]s beskryf word. Dit kan vergelyk word met die vorm van 'n (afgeslote) heksehoed.

== [[Oppervlakte|Oppervlak]] en [[Volume]] ==
Indien <math>r</math> die straal van die sirkelvormige basis van die keël is, <math>h</math> die hoogte is en <math>l</math> die lengte van die skuinste van die punt van die keël tot die sirkelvormige rand, dan is:

:<math>\text{Oppervlak kegel} = \pi l r = \pi r \sqrt{(r^2 + h^2)}</math>

:<math>\text{Oppervlak basis} = \pi r^2</math>

:<math>\text{Totale oppervlak} = \pi l r + \pi r^2 = \pi r \left(r + \sqrt{(r^2 + h^2)}\, \right)</math>

:<math>\text{Volume} = \frac{1}{3}\pi r^2h</math>


==Gedeeltelike volume==

[[Lêer:Keel(gedeeltelik).PNG|thumb|regs|250px|Keël.]]
Hier volg die oppervlak en volume van 'n [[keël]].

'''Totale volume'''

:<math>\text{Totale volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 H</math>

'''Gedeeltelike volume'''

* <math>R</math>, <math>H</math>: Radius en hoogte van groot keël
* <math>r</math>: Klein radius
* <math>h</math>: Afstand tussen groot en klein radius (sien skets)

In terme van R, H en h: <math>\text{Gedeeltelike volume} = \pi \frac{h}{H}R^2 \left(H - h + \frac{h^2}{3H} \right)</math>

In terme van R, H en r: <math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3}\pi R^2 H \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)</math>

In terme van R, r en h: <math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^3 \frac{h}{R-r} \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)</math>

==Afleiding van formule vir volume==

Gestel keël se dimensies is:

* R = Radius
* H = hoogte

Kies 'n baie dun skyfie in die keël wat afstand h van die bopunt is met dikte dh.

Die radius van die dun skyfie, kan soos volg bepaal word:

:<math>\frac{r}{R} = \frac{h}{H}</math>

:<math>r = \frac{R}{H}h</math>

Die volume van die dun skyfie is die volgende:

:<math>dV = \pi r^2 dh \quad = \quad \pi \left( \frac{R}{H}h \right)^2 dh \quad = \quad \pi \left( \frac{R}{H} \right)^2 h^2 dh</math>

Integreer nou van 0 tot H:

:<math>V = \pi \left( \frac{R}{H} \right)^2 \int_0^H h^2 dh</math>

:<math>V = \pi \left( \frac{R}{H} \right)^2 \frac{1}{3} \left[H^2 - 0^2 \right]</math>

:<math>V = \frac{1}{3}\pi R^2 H</math>

==Afleiding van formule vir gedeeltelike volume==

===In terme van R, H en h===

<math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 H - \frac{1}{3} \pi r^2 \left(H-h \right)</math>

:::::<math>= \frac{1}{3} \pi \left[R^2 H - r^2 \left(H-h \right) \right]</math>

<math>r</math> kan soos volg geskryf word in terme van <math>R</math>, <math>H</math> en <math>h</math>:

:::<math>\frac{r}{H-h} = \frac{R}{H}</math>

:::<math>r = \frac{R}{H}\left(H-h \right)</math>

Hierdie kan weer terug vervang word in die oorspronklike formule:

<math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi \left[R^2 H - \frac{R^2}{H^2} \left(H-h \right)^3 \right]</math>

:::::<math>\left(H-h \right)^3 = H^3 - 3H^2h + 3Hh^2 - h^3</math>

Vervang weer terug in hoof formule:

<math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 \left[H - \frac{1}{H^2} \left( H^3 - 3H^2h + 3Hh^2 - h^3 \right) \right]</math>

:::::<math> = \frac{1}{3} \pi R^2 \left[ H - H + 3h - 3\frac{h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2} \right]</math>

:::::<math> = \frac{1}{3} \pi h R^2 \left[ 3 - 3\frac{h}{H} + \frac{h^2}{H^2} \right]</math>

:::::<math> = \pi h R^2 \left[ 1 - \frac{h}{H} + \frac{h^2}{3H^2} \right]</math>

:::::<math> = \pi \frac{h}{H} R^2 \left[ H - h + \frac{h^2}{3H} \right]</math>

===In terme van R, H en r===

<math>\text{Gedeeltelike volume} = \text{groot kegel} - \text{klein kegel}</math>

Stel:
* <math>x</math> = hoogte van klein keël
* <math>r</math> = radius van klein keël

<math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 x</math>

Die verhouding tussen <math>x</math>, <math>r</math>, <math>H</math> en <math>R</math> is:

::<math>\frac{x}{r} = \frac{H}{R} \qquad \Rightarrow \qquad x = \frac{rH}{R}</math>

Dus:

<math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi \frac{r^3H}{R}</math>

:::::<math>= \frac{1}{3}\pi R^2 H \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)</math>


===In terme van R, r en h===

Kry eers H in terme van R, r en h:

:<math>\frac{H}{R} = \frac{H-h}{r}</math>

:<math>\frac{H}{R} = \frac{H}{r} - \frac{h}{r}</math>

:<math>\frac{H}{r} - \frac{H}{R} =  \frac{h}{r}</math>

:<math>H \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = \frac{h}{r}</math>

:<math>H \left( \frac{R-r}{Rr} \right) = \frac{h}{r}</math>

:<math>H = \frac{Rrh}{r \left( R-r \right)}</math>

:<math>H = \frac{Rh}{R-r}</math>

Vervang hierdie nou in die formule wat in terme van R, H en r is:

<math>\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)</math>

::::<math>= \frac{1}{3} \pi R^3 \frac{h}{R-r} \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)</math>

==Kyk ook==

* [[Omtrek, oppervlakte en volume]]

== Eksterne skakels ==
* {{Wikt-inlyn|keël}}

{{DEFAULTSORT:Keel}}
[[Kategorie:Meetkunde]]