Diagonaal dominante matriks

In wiskunde en lineêre algebra word 'n matriks as diagonaal dominant beskryf wanneer die absolute waarde van die diagonale elemente groter of gelyk is as die som van die absolute waarde van die ander terme in die ry.

Daar is drie gevalle wanneer daar na diagonale dominansie gekyk word:

• Streng diagonaal dominant;
• Diagonaal dominant;
• Nie-diagonaal dominant;

Voorbeelde

Streng diagonaal dominant

Die matriks $A$:

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}-4& 2& 1\\ 1& 6& 2\\ 1& -2& 5\end{array}\right]$

gee:

$|a_{11}|>|a_{12}|+|a_{13}|$   aangesien   $|-4|>|2|+|1|$

$|a_{22}|>|a_{21}|+|a_{23}|$   aangesien   $|6|>|1|+|2|$

$|a_{33}|>|a_{31}|+|a_{32}|$   aangesien   $|5|>|1|+|-2|$.

Omdat die absolute waarde van elke diagonale element groter as ($>$) die som van die ander terme in die ry is kan ons sê die matriks is streng diagonaal dominant

Diagonaal dominant

Die matriks $B$:

$𝐁=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ -1& 2& 4\end{array}\right]$

gee:

$|b_{11}|\ge |b_{12}|+|b_{13}|$   aangesien   $|3|\ge |-2|+|1|$

$|b_{22}|\ge |b_{21}|+|b_{23}|$   aangesien   $|-3|\ge |1|+|2|$

$|b_{33}|\ge |b_{31}|+|b_{32}|$   aangesien   $|4|\ge |-1|+|2|$.

Omdat die absolute waarde van elke diagonale element groter of gelyk aan ($\ge$) die som van die ander terme in die ry is kan ons sê die matriks is diagonaal dominant. Let wel: Die matriks is nie streng diagonaal dominant nie omdat $|a_{22}|=|a_{21}|+|a_{23}|$.

Nie-diagonaal dominant

Die matriks $C$:

$𝐂=\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

But here,

$|c_{11}|<|c_{12}|+|c_{13}|$   since   $|-2|<|2|+|1|$

$|c_{22}|\ge |c_{21}|+|c_{23}|$   since   $|3|\ge |1|+|2|$

$|c_{33}|<|c_{31}|+|c_{32}|$   since   $|0|<|1|+|-2|$.

Omdat $|c_{11}|$ en $|c_{33}|$ minder is as die absolute waarde van die som van die ander elemente in hul afsonderlike rye is C Nie-diagonaal dominant.