Hiperbool

'n Grafiek van 'n hiperbool.

In wiskunde is 'n hiperbool (Grieks ὑπερβολή letterlik 'oortreffing') is 'n soort keëlsnit wat gedefinieer word as die snyding tussen 'n regtesirkelkeëloppervlak en 'n vlak wat deur beide helftes van 'n dubbelkeël gaan. Dit kan ook gedefinieer word as die lokus van punte in 'n vlak waar die verskil in afstand na twee vaste punte (die brandpunte) konstant is.

'n Eenvoudige bewys dat die bogenoemde twee beskrywings ekwivalent aan mekaar is kan met Dandelinsfere gedoen word.

Algebraïes is 'n hiperbool 'n kromme in die Cartesiese vlak gedefinieer deur 'n vergelyking met die vrom

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

sodat $B^2>4AC$, waar al die koëffisiënte reël is, en waar meer as een oplossing, gedefinieer deur 'n paar punte (x, y) op die hiperbool, bestaan.

Definisies

'n Hiperbool kan ook gedefinieer word as die lokus van punte waarvoor die verhouding van die afstande na een brandpunt en na 'n lyn (genaamd die direktriks) 'n nie-veranderlike groter as 1 is. Die nie-veranderlike is die eksentrisiteit van die hiperbool. Die brandpunte lê op die transversale as en hulle middelpunt is die middelpunt van die hiperbool.

'n Hiperbool bestaan uit twee onverbinde krommes genaamd arms wat die brandpunte skei. Op afstande ver van die brandpunte begin die hiperbool twee lyne wat die asimptote bekend staan benader.

'n Hiperbool het die eienskap dat 'n straal wat by een brandpunt ontstaan op so 'n manier weerkaats word dat dit voorkom asof dit by die ander brandpunt ontstaan het.

An ambigenale hiperbool is een van die drie tweede orde hiperbole wat een van sy oneindige bene binne die hoek wat deur die asimptote gevrom word, en die ander daar buite.

Toegevoegde eenheidsreghoekige hiperbole

'n Spesiale geval van die hiperbool is die gelyksydige of reghoekige hiperbool, waarin die asimptote teen regtehoeke kruis. Die reghoekige hiperbool met koördinaatasse as asimptote word gegee deur die vergelyking xy=c, waar c 'n onveranderlike waarde is.

Net soos die sinus en kosinus funksies parametriese vergelykings vir die ellips gee, gee die hiperboliese sinus en hiperboliese kosinus 'n parametriese vergelyking vir die hiperbool.

As mens die x en y in die hiperbool vergelyking omruil word die toegevoegde hiperbool verkry. 'n Hiperbool en sy teogevoegde het dieselfde asimptote.

Vergelykings

Cartesies

Oos-wes opening hiperbool:

$\frac{{(x-h)}^2}{a^2}-\frac{{(y-k)}^2}{b^2}=1$

Noord-suid opening hiperbool:

$\frac{{(y-k)}^2}{b^2}-\frac{{(x-h)}^2}{a^2}=1$

In beide formules is (h,k) die middelpunt van die hiperbool, a is die halwe lengteas (helfte van die afstand tussen die twee takke), en b is die halwe breedteas. Let daarop dat b groter as a kan wees.

Die eksentrisiteit word gegee deur

$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

Die brandpunt vir 'n oos-wes opening hiperbool word gegee deur

$(h\pm c,k)$

en vir 'n noord-suid opening hiperbool word gegee deur

$(h,k\pm c)$ where c is given by $c^2=a^2+b^2$

Vir regheokige hiperbole met die koördinaatasse parallel aan hulle asimptote:

$(x-h)(y-k)=c$

Poolkoördinate

Oos-wes opening hiperbool:

$r^2=a\sec 2t$

Noord-suid opening hiperbool:

$r^2=-a\sec 2t$

Noordoos-suidwes opening hiperbool:

$r^2=a\csc 2t$

Noordwes-suidoos opening hiperbool:

$r^2=-a\csc 2t$

Reghoekige Hiperbool:

$y=k/x$

In alle formules die middelpunt by die pool, en is a die halwe lengte- en alwe breedteas.

Parametries

Oos-wes opening hiperbool:

$x=a\sec \theta +h$

$y=b\tan \theta +k$

Noord-suid opening hiperbool:

$x=a\tan \theta +h$

$y=b\sec \theta +k$

In beide formules is (h,k) die middelpunt van die hiperbool, a is die halwe lengteas, en b is die halwe breedteas.

Hiperboloïed

Hiperboloïed van een vlak

Hiperboloïed van twee vlakke

'n Driedimensionele vorm gegrond op die hiperbool, 'n omwentelingshiperboloïed, kan verkry word deur 'n hiperbool om sy transversale of brandpuntas as te roteer.

Kyk ook

• Ellips
• Parabool
• Sirkel
• Dandelinsfere
• Hiperboliese sektor
• Hiperboliese hoek
• Hiperboliese funksie
• Hiperboliese trajek
• Hiperboloïed
• Hiperboliese struktuur
• Multilateration

Eksterne skakels

• Sjabloon:Planetmath reference
• Sjabloon:Planetmath reference
• Sjabloon:Planetmath reference
• Mathworld - Hyperbola