Biseksie metode

Die biseksie metode (of intervalhalveringsmetode) is 'n Iteratiewe metode in numeriese analise wat gebruik word om die wortel(s) van 'n gegewe funksie $f$ (gewoonlik nie-linêer) te bepaal.

Probleemstelling

Bereken die wortel $x_{*}$ van die gegewe 'n funksie $f:I\to ℝ$, waar $I$'n subinterval van die reële getalle is.

Beskrywing van die metode

1. Bereken die middelpunt $x_0=\frac{a+b}{2}$ van die interval $I=[a,b]$.
2. Bereken nou die waardes $f(a),f(x_0),f(b)$ en die produkte $f(a)f(x_0)$ en $f(x_0)f(b)$.
3. Veronderstel $f(a)f(x_0)<0$, behou die waarde $a$ en stel $b=x_0$. Indien $f(x_0)f(b)<0$, behou die waarde $b$ en stel $a=x_0$.
4. Bereken nou die middelpunt van die subinterval $[a,x_0]$, dit wil sê $x_1=\frac{a+x_0}{2}$en herhaal van punt nommer 2 af.

Sodoende word 'n ry $x_0,x_1,x_2,\dots$ van benaderings aan die wortel $x_{*}$ geskep. Die proses word herhaal totdat óf $|x_{i+1}-x_i|<\epsilon$ óf $|f(x_i)|<\epsilon$ (waar $\epsilon$ 'n klein, reële getal is en $i=0,1,2,\dots$) bevredig word.

Bespreking

Die metode berus op die toepassing van die tussenwaarde stelling. Veronderstel $I$is die eindige interval $[a,b]$ sodanig dat $f(a)<0<f(b)$(of selfs die omgekeerde $f(a)>0>f(b)$). Vervolgens die tussenwaardestelling moet daar dan 'n getal $c\in [a,b]$ bestaan sodanig dat $f(c)=0$. Indien die ongelykhede nie bevredig word nie, kan die biseksie metode nie toegepas word nie. Die metode is gewaarborg om te konvergeer mits die voorgenoemde voorwaardes bevredig word.

Weens die linêere konvergensie van die metode, word dit nie noodwendig gebruik vir akkurate benaderings van die wortel nie. Maar dit word somtyds aanbeveel dat die metode gebruik word om 'n rowwe benadering van die wortel te verkry wat dan gebruik word as die eerste benadering in 'n vinniger konvergerende metode, soos byvoorbeeld die Newton-Raphson-metode.

Bronne

• Numerical Analysis 8th Edition (2005). R.L. Burden en J.D. Faires. Thompson Brooks/Cole.