Driehoek

Die som van die hoeke is 180°

'n Driehoek is 'n veelhoek wat uit drie sye en drie hoeke bestaan. 'n Kenmerk van enige driehoek wat in 'n Euklidiese tweedimensionele ruimte lê ('n vlak driehoek) is dat die som van die binnehoeke altyd 180° (grade) is, maar die som van die hoeke van 'n sferiese driehoek is altyd meer as 180°.

By 'n reghoekige driehoek is een van die hoeke altyd 90°. Pythagoras se Stelling is 'n wiskundige stelling wat van toepassing is op reghoekige driehoeke. Die stelling lui as volg:

By 'n gelyksydige driehoek is al drie die sye ewe lank en al drie binnehoeke is altyd 60°. Die oppervlakte van so 'n driehoek met kante van lengte $L$ is gelyk aan $\sqrt{3}{L}^2/4$.

Vlak driehoek

'n Willekeurige driehoek

Trigonometrie word gebruik om die verskeie waardes van 'n driehoek te bereken.

As al drie lengtes van die drie sye bekend is, kan die grootte van die verskeie hoeke met die cosreël as volg bereken word:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

As die hoek $\gamma$ 90° is, is $\cos \gamma =0$ en die vergelyking ontaard na

$c^2=a^2+b^2$ (die wet van Pythagoras).

As die waarde van twee sye en een hoek bekend is, kan die waarde van die derde sy en ook die ander hoeke met die sinreël bereken word:

$\frac{\sin \alpha }{a}=\frac{\sin \beta }{b}=\frac{\sin \gamma }{c}$

U kan die oppervlak $A$ van 'n vlak driehoek met hierdie vergelyking bereken:

$A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$

Sferiese driehoek

'n Sferiese driehoek

'n Sferiese driehoek is die oppervlakte van 'n sfeer wat deur drie snydende grootsirkels begrens is. Wanneer die radius van die sfeer een is, word die lengtes van die sye van die sferiese driehoek aangedui deur die hoek wat die sy in die middelpunt van die sirkel onderspan.

As die afstande op die aarde voldoende groot is om die kromming van die aarde in ag te neem, moet navigators sferiese driehoeke eerder as gewone driehoeke vir navigasiedoeleindes.

Die reëls vir sferiese meetkunde veronderstel dat die radius van die bol 1 is, dus is die lengtes van die boë $a$, $b$ en $c$ gelyk aan die hoeke wat hulle in die middel van die bol trek. Die werklike lengtes van hierdie boë is $ar$, $br$ en $cr$ waar $r$ die radius van die sfeer is.

U kan die oppervlak $A$ van die sferiese driehoek met hierdie vergelyking bereken:

$A=(a+b+c-\pi )r^2$ (Let wel - al die hoeke a, b, c en $\pi$ is in radiale aangedui).

Albei die sinreël en die cosreël dra oor van vlak driehoeke na sferiese driehoeke. Die sinreël is:

$\frac{\sin a}{\sin \alpha }=\frac{\sin b}{sin\beta }=\frac{\sin c}{\sin \gamma }$

Die cosreël lui:

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha$

en

$\cos \alpha =-\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cos a$

Verwysings

• Sjabloon:Cite book
• Sjabloon:Cite book

Sien ook

• Tetraëder