Driehoeksverdeling

Lêer:Driehoekige verspreiding.png

In waarskynlikheidsteorie en statistiek is die driehoeksverdeling 'n kontinue waarskynlikheidsverdeling met:

• a = laer limiet
• b = hoër limiet
• c = modus
• a ≤ c ≤ b

Die totale oppervlak van die driehoek stel 'n 100% waarskynlikheid voor. Dus moet die oppervlak van die driehoek gelyk wees aan 1.

$Oppervlak=\frac{1}{2}basis\times hoogte$

$1=\frac{1}{2}(b-a)\times h\Rightarrow h=\frac{2}{b-a}$

Genereer ewekansige getalle wat driehoekige verspreiding het

Om ewekansige variansies X te genereer tussen a en b, met waarskynlikheid U kan dit soos volg gedoen word:

By c is die waarskynlikheid:

$U_c=\frac{1}{2}\times basis\times h=\frac{1}{2}\times (c-a)\times \frac{2}{b-a}=\frac{c-a}{b-a}$

Waar a < X < c:

Lêer:Driehoekige verspreiding 1.png

Gestel $a<X_1<c$ en U is die oppervlak van die grys driehoek:

$U=\frac{1}{2}\times basis\times h_1$

Omdat driehoek $ach$ gelykvormig is aan driehoek $a{X}_1{h}_1$:

$\frac{h_1}{h}=\frac{X_1-a}{c-a}$

$h_1=\frac{X_1-a}{c-a}\times h=\frac{X_1-a}{c-a}\times \frac{2}{b-a}=\frac{2(X_1-a)}{(b-a)(c-a)}$

Dus:

$U=\frac{1}{2}\times (X_1-a)\times \frac{2(X_1-a)}{(b-a)(c-a)}$

$U=\frac{(X_1-a{)}^2}{(b-a)(c-a)}$

$(X_1-a{)}^2=U(b-a)(c-a)$

$X_1=a+\sqrt{U(b-a)(c-a)}$

Waar c < X < b:

Lêer:Driehoekige verspreiding 2.png

Gestel $c<X_2<b$ en U is die oppervlak van die grys gedeelte, dan is 1-U die oppervlak van die groen driehoek:

$1-U=\frac{1}{2}\times basis\times h_1$

Omdat driehoek $bch$ gelykvormig is aan driehoek $b{X}_2{h}_2$:

$\frac{h_2}{h}=\frac{b-X_2}{b-c}$

$h_2=\frac{b-X_2}{b-c}\times h=\frac{b-X_2}{b-c}\times \frac{2}{b-a}=\frac{2(b-X_2)}{(b-a)(b-c)}$

Dus:

$U=\frac{1}{2}\times (b-X_2)\times \frac{2(b-X_2)}{(b-a)(b-c)}$

$U=\frac{(b-X_2{)}^2}{(b-a)(b-c)}$

$(b-X_2{)}^2=U(b-a)(b-c)$

$X_2=b-\sqrt{U(b-a)(b-c)}$

In opsomming

Indien:

$U_c=\frac{1}{2}\times (c-a)\times h=\frac{1}{2}\times (c-a)\times \frac{2}{b-a}=\frac{c-a}{b-a}$

en U is 'n reeks ewekansige getalle tussen 0 en 1, dan gaan die volgende formules 'n reeks van getalle gee (X) met 'n driehoekige verspreidingː

$X=\{\begin{array}{cc}a+\sqrt{U(b-a)(c-a)}& \text{ vir }0<U_c<F(c)\\ & \\ b-\sqrt{(1-U)(b-a)(b-c)}& \text{ vir }F(c)\le U_c<1\end{array}$

In Excel gaan die formule soos volg lyk:

IF(ewekansig < (c-a) / (b-a), a + SQRT(ewekansig * (b-a) * (c-a)), b - SQRT( (1-ewekansig) * (b-a) * (b-c)))

waar ewekansig = RAND()

Genereer ewekansige getalle wat normaalverspreiding het

Om 'n reeks getalle in Excel te gegenereer wat 'n normaalverspreiding het, kan die volgende formule gebruik word:

=NORMINV(RAND(), 0.5, 0.2)

Waar 0.5 die gemiddeld is en 0.2 die standaardafwyking is.

Kyk ook

• Normaalverspreiding
• Permutasie
• Kombinasie

Bronne

• Triangular Distribution (using similar triangles), Mrs O'Gram's Maths, 29 Mei 2021