Fourier-reeks

Die Fourier-reeks is deur Joseph Fourier in die begin van die negentiende eeu ontwikkel. Hy publiseer sy ontdekking in 1807.^[1] Hy ontwikkel die die konsep oorspronklik om hom te help met die oplossing van die hittediffusievergelyking, maar dit is later ontdek dat reeks nuttig is om enige periodieke golfvorm te ontleed. In sy eenvoudigste vorm (uit 'n ingenieursoogpunt) word die golfvorm ontbind in 'n reeks sinus- en cosinuskrommes met frekwensie gelykstaande aan 'n tussengetalveelvoud van die frekwensie van die oorspronklike golfvorm. In die praktyk word slegs die laagste frekwensiekrommes gebruik.^[2]

In die boonste ry van die diagram aan die regterkant word die vierkantgolf benader deur 'n sinusvormige kromme wat 'n periode $T$ het. Die volgende ry wys die vierkantgolf wanneer dit benader word deur twee sinusvormige krommes met periodes $(T, \frac{T}{3})$ bymekaar te tel, die derde ry toon die resultaat wanneer drie sinusvormige krommes met frekwensies $(T, \frac{T}{3}, \frac{T}{5})$ bymekaar getel is en so voort.

Vorm

Die Fourier-reeks kan in verskeie vorme uitgedruk word. Die drie mees algemene word hier beskryf.

Sinus-kosinus vorm

Die wiskundige uitdrukking vir die Fourier-reeks word gegee deur:^[3]

s_{N} (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{N} (a_{n} \cos (\frac{2 π}{T} n x) + b_{n} \sin (\frac{2 π}{T} n x))

waar

s_{N} (x)

is die funksie wat benader word.

N

N is die hoogste orde van sinusvormige kromme wat in die benadering gebruik word.

s_{N} (x)

Is die benadering tot die kromme nadat N sinusvormige krommes gebruik is.

{a_{0}, a_{n}, b_{n} | n = 1 \dots N}

is 'n stel konstante wat spesifiek is vir

s_{N} (x)

.

Die konstantes ${a_{0}, a_{n}, b_{n} | n = 1 \dots N}$ word geëvalueer deur die formules te gebruik:

\begin{matrix} a_{n} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} s (x) \cos (n x) d x \\ b_{n} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} s (x) \sin (n x) d x \end{matrix}

Amplitude-fase vorm of polêre vorm

Aangesien dat

A \cos (θ - ϕ) = A \cos θ \cos ϕ + A \sin θ \sin ϕ

is dit maklik om te bewys dat die sinus-kosinusvorm in 'n amplitude-fase of polêre vorm herskryf kan word:

s_{N} (x) = \frac{A_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{N} A_{n} \cdot \cos (\frac{2 π}{P} n x - φ_{n})

waar

A_{n} = \sqrt{(a_{n}^{2} + b_{n}^{2})}

\tan ϕ = \frac{b_{n}}{a_{n}}

.

Wanneer die Fourier-reeks in hierdie vorm geskryf word, is die term $A_{n}$ die amplitude van die $n^{d e}$ komponent van die golf en $ϕ$ sy faseverskuiwing.

Eksponensiële vorm

Volgens Euler se formule is

\cos θ = \frac{1}{2} (e^{i θ} + e^{- i θ})

.

Deur hierdie verhouding te gebruik, is dit maklik om dit te wys dat die polêre vorm in 'n eksponensiële vorm herskryf kan word:

s_{_{N}} (x) = \sum_{n = - N}^{N} c_{n} \cdot e^{i 2 π n x / P}

waar

c_{n} ≜ {\begin{matrix} A_{0} / 2 & = a_{0} / 2, & n = 0 \\ \frac{A_{n}}{2} e^{- i φ_{n}} & = \frac{1}{2} (a_{n} - i b_{n}), & n > 0 \\ c_{| n |}^{*}, & n < 0 \end{matrix}}

en

c^{*}

is die komplekse vervoeging van

c

.

Konvergensie

Oor die algemeen kan aangetoon word dat 'n Fourier-reeks konvergent is as dit aan die Sjabloon:Intertaalskakel voldoen.

In ingenieurswese toepassings word daar oor die algemeen aanvaar dat die Fourier-reeks byna oral konvergeer (die uitsonderings is by diskrete diskontinuïteite) aangesien die funksies wat in ingenieurswese teëgekom word, beter gedra as die funksies wat wiskundiges as teenvoorbeelde vir hierdie vermoede kan verskaf. In die besonder, as $s$ kontinu is en die afgeleide van $s (x)$ (wat dalk nie oral bestaan nie) vierkantintegreerbaar is, dan is die Fourier-reeks van $s$ konvergeer absoluut en eenvormig na $s (x)$ .^[4] As 'n funksie is Sjabloon:Intertaalskakel op die interval $[x_{0}, x_{0} + P]$ , dan konvergeer die Fourier-reeks na die funksie by byna elke punt. Dit is moontlik om Fourier-koëffisiënte vir meer algemene funksies of verdelings te definieer, in sulke gevalle is konvergensie in norm of Sjabloon:Intertaalskakel gewoonlik van belang.

Tabel van algemene Fourier-reekse

Sommige algemene pare periodieke funksies en hul Fourierreeks-koëffisiënte word in die tabel hieronder getoon.

$s (x)$ dui 'n periodieke funksie aan gedefinieer op $0 < x \leq P$ .
$a_{0}, a_{n}, b_{n}$ dui die Fourierreeks-koëffisiënte (sinus-kosinusvorm) van die periodieke funksie aan $s (x)$ .

Tyd domein $s (x)$	Frekwensiedomein (sinus-kosinusvorm) $\begin{matrix} a_{0} \\ a_{n} vir n \geq 1 \\ b_{n} vir n \geq 1 \end{matrix}$	Opmerking	Verwysing
$s (x) = A \| \sin (\frac{2 π}{P} x) \| vir 0 \leq x < P$	$\begin{matrix} a_{0} = & \frac{4 A}{π} \\ a_{n} = & {\begin{matrix} \frac{- 4 A}{π} \frac{1}{n^{2} - 1} & n ewe \\ 0 & n onewe \end{matrix} \\ b_{n} = & 0 \end{matrix}$	Volgolf gelykgerigte sinus	^[5]Sjabloon:Rp
$s (x) = {\begin{matrix} A \sin (\frac{2 π}{P} x) & vir 0 \leq x < P / 2 \\ 0 & vir P / 2 \leq x < P \end{matrix}$	$\begin{matrix} a_{0} = & \frac{2 A}{π} \\ a_{n} = & {\begin{matrix} \frac{- 2 A}{π} \frac{1}{n^{2} - 1} & n ewe \\ 0 & n onewe \end{matrix} \\ b_{n} = & {\begin{matrix} \frac{A}{2} & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{matrix} \end{matrix}$	Halfgolf gelykgerigte sinus	^[5]Sjabloon:Rp
$s (x) = {\begin{matrix} A & vir 0 \leq x < D \cdot P \\ 0 & vir D \cdot P \leq x < P \end{matrix}$	$\begin{matrix} a_{0} = & 2 A D \\ a_{n} = & \frac{A}{n π} \sin (2 π n D) \\ b_{n} = & \frac{2 A}{n π} {(\sin (π n D))}^{2} \end{matrix}$	$0 \leq D \leq 1$
$s (x) = \frac{A x}{P} vir 0 \leq x < P$	$\begin{matrix} a_{0} = & A \\ a_{n} = & 0 \\ b_{n} = & \frac{- A}{n π} \end{matrix}$		^[5]Sjabloon:Rp
$s (x) = A - \frac{A x}{P} vir 0 \leq x < P$	$\begin{matrix} a_{0} = & A \\ a_{n} = & 0 \\ b_{n} = & \frac{A}{n π} \end{matrix}$		^[5]Sjabloon:Rp
$s (x) = \frac{4 A}{P^{2}} {(x - \frac{P}{2})}^{2} vir 0 \leq x < P$	$\begin{matrix} a_{0} = & \frac{2 A}{3} \\ a_{n} = & \frac{4 A}{π^{2} n^{2}} \\ b_{n} = & 0 \end{matrix}$		^[5]Sjabloon:Rp