Magsverheffing

Sjabloon:Geen bronnelys Magsverheffing is 'n wiskundige bewerking, waarby 'n getal (die faktor of die grondtal van die magsverheffing) herhaaldelik met homself vermenigvuldig word. Die grondtal x verhef tot die mag n word genoteer as xⁿ wat beteken:

$\begin{array}{cc}{x}^n=& \underbrace{x\cdot x\cdot \dots \cdot x}\\ & n\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\end{array}$

Mens sê: x tot die mag n, of ook kortweg x tot die n-de.

So is 2 tot die mag 3, of 2 tot die derde: 2³ = 2×2×2 = 8, waar 2 die grondtal en 3 die eksponent van die mag 2³ is. Moenie die mag met die eksponent met mekaar verwar nie.

Voorbeelde:

• $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$
• $x^2=x\cdot x$
• $1^x=1$ vir enige getal x

Definisie

Die n^de mag van die grondtal x, genoteerd as $x^n$, is gedefinieer as die produk van n faktore x (met ander woorde: x*x*...; n keer).

Die gebruiklike notasie is om die eksponent n, wat die aantal faktore aangee, hoër te skryf (boskrif).

Deur die uitbreiding van die definisie met:

$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

kan negatiewe eksponente aangedui word.

'n Verdere uitbreiding is:

$x^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{x}\right)}^m$,

waarmee gebroke eksponente voorgestel word.

Meer algemeen gedefinieer deur gebruik te maak van 'n logaritme en eksponensiële funksie:

$a^x=\exp (x\cdot \log (a))$

Omgekeerde bewerkinge

Omdat magsverheffing nie kommutatief is nie,

${\mathrm{𝟐}}^{\mathrm{𝟑}}\mathbf{=}\mathrm{𝟖}$ terwyl ${\mathrm{𝟑}}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathrm{𝟗}$,

is twee omkeer bewerkings nodig: worteltrek en logaritme

$\sqrt[\mathrm{𝟑}]{\mathrm{𝟖}}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}$ en ${}^{\mathrm{𝟐}}\log \mathrm{𝟖}\mathbf{=}\mathrm{𝟑}$ t.o.v. $\sqrt[\mathrm{𝟐}]{\mathrm{𝟗}}\mathbf{=}\mathrm{𝟑}$ en ${}^{\mathrm{𝟑}}\log \mathrm{𝟗}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}$.

Mag hou verband met het begrip graad by polinome en vergelykings. 'n Tweedegraadse vergelyking is 'n vergelyking waarin die hoogste mag 2 is.

Berekeninge met magte

Die onderstaande reëls kan gebruik word tydens berekeninge met magte:

• $x^a.x^b=x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$
• ${\left(x^a\right)}^b=x^{ab}$
• ${\left(xy\right)}^a=x^a{y}^a$
• $x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$
• $\frac{1}{{(x/y)}^a}={\left(\frac{x}{y}\right)}^{-a}={\left(\frac{y}{x}\right)}^a$

Enkele spesiale gevalle word hieronder genoem:

Vir a≠ 0 is:

• $a^0=1$
• $a^{-1}=\frac{1}{a}$

Vir a>0 is:

• $0^a=0$

Afgeleides

Stel die a-de mag van x op as funksie van x, dus vir sekere eksponent a:

$f\left(x\right)=x^a$

dan word die afgeleide gegee deur:

$f^{\prime }\left(x\right)=a{x}^{a-1}$

Stel die mag op as funksie van die eksponent, dus vir sekere grondtal a:

$g\left(x\right)=a^x$

dan word die afgeleide gegee deur:

$g^{\prime }\left(x\right)=a^x\ln (a)$

Sien ook

• Kwadraat
• Logaritme