Termodinamiese beta

SI temperatuur/koudheid-omskakelingskaal: Temperature in Kelvin-skaal word in blou getoon (Celsius-skaal in groen, Fahrenheit-skaal in rooi), koudheidswaardes in gigagreep per nanojoule word in swart getoon. Oneindige temperatuur (koudheid nul) word bo-aan die diagram getoon; positiewe waardes van koudheid/temperatuur is aan die regterkant, negatiewe waardes aan die linkerkant.

In statistiese termodinamika is termodinamiese beta, ook bekend as koudheid, die resiprook van die termodinamiese temperatuur van 'n stelsel:$$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}$$ (waar T die temperatuur is en k_B die Boltzmann-konstante is).

Termodinamiese beta het eenhede resiprook tot dié van energie (in SI-eenhede, resiproke joule, $[\beta ]={\text{J}}^{-1}$). In nie-termiese eenhede kan dit ook gemeet word in greep per joule, of geriefliker, gigagreep per nanojoule; 1 K⁻¹ is gelyk aan ongeveer 13 062 gigagrepe per nanojoule; by kamertemperatuur: T = 300K, β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV⁻¹ ≈ 2.4×10²⁰ J⁻¹. Die omskakelingsfaktor is 1 GB/nJ = $8\ln 2\times 10^{18}$ J⁻¹.

Beskrywing

Termodinamiese beta is in wese die verband tussen die inligtingsteorie en statistiese meganika interpretasie van 'n fisiese stelsel deur sy entropie en die termodinamika wat met sy energie geassosieer word. Dit druk die reaksie van entropie op 'n toename in energie uit. As 'n klein hoeveelheid energie by die stelsel gevoeg word, beskryf β die mate waarin die stelsel sal randomiseer.

Deur die statistiese definisie van temperatuur as 'n funksie van entropie, kan die koudheidsfunksie in die mikrokanoniese ensemble bereken word uit die formule

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T},=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}{\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,N}$

(d.w.s., die parsiële afgeleide van die entropie S met betrekking tot die energie E by konstante volume V en partikelgetal N).

Voordele

Alhoewel dit konseptueel heeltemal gelykstaande is aan temperatuur, word β oor die algemeen as 'n meer fundamentele grootheid as temperatuur beskou as gevolg van die verskynsel van negatiewe temperatuur, waarin β kontinu is soos dit nul kruis terwyl T 'n singulariteit het.

Daarbenewens het β die voordeel dat dit makliker is om kousaal te verstaan: As 'n klein hoeveelheid hitte by 'n stelsel gevoeg word, is β die toename in entropie gedeel deur die toename in hitte. Temperatuur is moeilik om in dieselfde sin te interpreteer, aangesien dit nie moontlik is om entropie direk by 'n stelsel te "voeg" nie, behalwe indirek, deur ander groothede soos temperatuur, volume of aantal deeltjies te wysig.

Statistiese interpretasie

Vanuit die statistiese oogpunt is β 'n numeriese grootheid wat twee makroskopiese stelsels in ewewig met mekaar verbind. Die presiese formulering is soos volg. Beskou twee stelsels, 1 en 2, in termiese kontak, met onderskeie energieë E₁ en E₂. Ons aanvaar E₁ + E₂ = 'n konstante E. Die aantal mikrostate van elke stelsel sal deur Ω₁ en Ω₂ aangedui word. Onder ons aannames hang Ω_i slegs af van E_i. Ons aanvaar ook dat enige mikrostaat van stelsel 1 wat ooreenstem met E₁ kan saam bestaan met enige mikrostaat van stelsel 2 wat ooreenstem met E₂. Dus is die aantal mikrostate vir die gekombineerde stelsel

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1(E_1){\mathrm{\Omega }}_2(E_2)={\mathrm{\Omega }}_1(E_1){\mathrm{\Omega }}_2(E-E_1).,$

Ons sal β aflei uit die fundamentele aanname van statistiese meganika:

Wanneer die gekombineerde stelsel ewewig bereik, word die getal Ω gemaksimeer.

(Met ander woorde, die stelsel soek natuurlik die maksimum aantal mikrostate.) Daarom, by ewewig,

$\frac{d}{d{E}_1}\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)+{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\cdot \frac{d{E}_2}{d{E}_1}=0.$

Maar E₁ + E₂ = E impliseer

$\frac{d{E}_2}{d{E}_1}=-1.$

Dus

${\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)-{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\mathrm{\Omega }}_2(E_2)=0$

d.w.s.

$\frac{d}{d{E}_1}\ln {\mathrm{\Omega }}_1=\frac{d}{d{E}_2}\ln {\mathrm{\Omega }}_2\text{by ewewig.}$

Bogenoemde verhouding motiveer 'n definisie van β:

$\beta =\frac{d\ln \mathrm{\Omega }}{dE}.$

Verband van statistiese siening met termodinamiese siening

Wanneer twee stelsels in ewewig is, het hulle dieselfde termodinamiese temperatuur T. Dus intuïtief sou 'n mens verwag dat β (soos gedefinieer via mikrostate) op een of ander manier met T verband hou. Hierdie verband word verskaf deur Boltzmann se fundamentele aanname geskryf as

$S=k_{\mathrm{B}}\ln \mathrm{\Omega },$

waar k_B die Boltzmann-konstante is, S die klassieke termodinamiese entropie is, en Ω die aantal mikrostate is. Dus

$d\ln \mathrm{\Omega }=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}dS.$

Deur dit in die definisie van β uit die statistiese definisie hierbo te vervang, gee

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}\frac{dS}{dE}.$

Vergelyk met termodinamiese formule

$\frac{dS}{dE}=\frac{1}{T},$

ons het

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}=\frac{1}{\tau }$

waar $\tau$ die fundamentele temperatuur van die stelsel genoem word, en eenhede van energie het.

Geskiedenis

Die termodinamiese beta is oorspronklik in 1971 (as Sjabloon:Lang "koudheidsfunksie") deur Sjabloon:Interlanguage link, een van die voorstanders van die rasionele termodinamika denkskool, bekendgestel, gebaseer op vroeëre voorstelle vir 'n "resiproke temperatuur" funksie.

Sien ook

• Boltzmann-verdeling
• Kanoniese ensemble
• Ising-model