Omtrek, oppervlakte en volume

Belangrike Wiskundige Begrippe vir Simmetrie

Omtrek: Die afstand rondom/om die buiterande van ’n vorm.

Oppervlakte: Die ruimte wat ’n vorm dek.

Volume: Die hoeveelheid spasie wat ’n voorwerp inneem. Dit word ook kapasiteit of inhoud genoem.

Buite oppervlakte: Die totale oppervlakte van al die vlakke van ’n voorwerp.

Formules

Omtrek: Tel al die sye se lengtes bymekaar

Oppervlakte: Lengte × Breedte

Volume: Lengte × Breedte × Hoogte

Sirkel en ellips

Kyk ook sirkel en ellips.

Omtrek

$\text{Omtrek van sirkel}=2\pi R^2=\pi D$

$\text{Omtrek van ellips}=2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Oppervlak

$\text{Oppervlak van sirkel}=\pi R^2=\frac{\pi }{4}{D}^2$

$\text{Oppervlak van ellips}=\pi ab$

Sfeer

Lêer:Sfeer(gedeeltelik).PNG

Gedeeltelike sfeer

Hier volg die oppervlak en volume van 'n sfeer.

Oppervlak

$\text{Totale oppervlak}=4\pi R^2=\pi D^2$

Volume

$\text{Totale volume}=\frac{4}{3}\pi R^3$

$\text{Gedeeltelike volume}=\frac{\pi }{3}{h}^2(3R-h)$

Vir die afleiding van die formule vir die volume van 'n sfeer, kyk Derivation of Formula for Volume of the Sphere by Integration.

Koepel

Lêer:Koepel(horisontaal).PNG

Gedeeltelik gevulde horisontale koepel

Lêer:Koepel(vertikaal).PNG

Gedeeltelik gevulde vertikale koepel

Hier volg die oppervlak en volume van 'n koepel.

Horisontale koepel

$V=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{R^2}{H^2}\cdot h^2(3H-h)$

Indien $h=H$:

$V=\frac{2}{3}\pi R^{2}H$

Vertikale koepel

$V=\frac{\pi }{6}\cdot \frac{H}{R}\cdot h^2(3R-h)$

Silinder

Lêer:Elliptiese silinder(gedeeltelik).PNG

Gedeeltelik gevulde horisontale elliptiese silinder.

Hier volg die oppervlak en volume van 'n silinder.

Oppervlak

Slegs die silindergedeelte

Omtrek maal hoogte:

$\text{Oppervlak}=\pi DH$

Ingesluit die bo en onderkant:

$\text{Oppervlak}=\pi DH+2\frac{\pi }{4}{D}^2$

Volume

$\text{Totale volume}=\pi R^{2}H$

Volume van elliptiese silinder

$\text{Gedeeltelike volume}=\frac{a}{b}L[(h-b)\sqrt{b^2-{(h-b)}^2}+b^2\cdot si{n}^{-1}\left(\frac{h-b}{b}\right)+b^2\frac{\pi }{2}]$

$a=\frac{W}{2}$ Sjabloon:Spaces en Sjabloon:Spaces $b=\frac{H}{2}$

Keël

Lêer:Keel(gedeeltelik).PNG

Keël.

Hier volg die oppervlak en volume van 'n keël.

Oppervlak

$\text{Totale oppervlak}=\pi LR=\pi R\sqrt{R^2+H^2}$

Sjabloon:SpacesWaar $L$ die lengte is van die skuins sy van die keël.

Volume

$\text{Totale volume}=\frac{\pi R^{2}H}{3}$

$\text{Gedeeltelike volume}=\pi \frac{h}{H}{R}^2(H-h+\frac{h^2}{3H})$

Sjabloon:Spacesofː

$\text{Gedeeltelike volume}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H(1-\frac{r^3}{R^3})$

Sjabloon:SpacesWaar $r$ en $h$ die radius en hoogte van die klein keël is.

Voorbeelde

Voorbeeld van omtrek

Voorbeeld van omtrek

Omtrek = 3 cm + 3 cm + 1.5cm + 3.5cm + 3 cm + 1 cm + 2 cm = 17cm

Voorbeeld van oppervlakte

Voorbeeld van oppervlakte

Vorm A kan of getel word, byvoorbeeld:  Vorm A bestaan uit 6 vierkante, dus kan ons sê dat vorm A uit 6 vierkante eenhede bestaan.

Wanneer ons vorm A met die formule uitwerk, vermenigvuldig ons die Lengte met die Breedte, dus 3 cm X 2 cm = 6 cm² (LW: Die klein ² beteken ‘vierkante’ sentimeter).

Vorm B bestaan uit 4 X 1 cm by 1 cm blokke, dus is die oppervlakte 4 vierkante eenhede, of

L X B

= 2 cm X 2cm

= 4cm²

Vorm C = 10 vierkantige blokke, dus is die oppervlakte 10 vierkante eenhede, of

L X B

= 5 cm X 2cm

= 10cm²

Vorm D = 12 vierkante eenhede, of

L X B

= 3 cm X 4cm

= 12cm²

Voorbeeld van volume

Voorbeeld van volume

Die bogenoemde vorm se volume kan uitgewerk word deur die blokke te tel, byvoorbeeld:  Die voorste ry het nege blokke, agter ry een is twee identiese rye. Dit beteken ry een het nege blokke, ry twee het nege blokke en ry drie het nege blokke, dus is die volume van die bogenoemde vorm 27 vierkante eenhede.

Wanneer ons bogenoemde vorm met die formule uitwerk, vermenigvuldig ons die Lengte, Breedte en Hoogte met mekaar, dus 3 cm X 3 cm X 3 cm = 27 cm³ (LW: Die klein ³ beteken ‘kubieke sentimeter).